江西政法干警考試行測數(shù)量關(guān)系——不定方程（組）問題

不定方程（組）問題是指未知量的個數(shù)大于方程的個數(shù)這樣的問題。這類問題的求解基本上可以有三種思路：一是把不定方程（組）降為定方程（組）進行求解；二是通過整體消去法直接得到問題的解；三是利用不等式關(guān)系來求解。對于第一種求解思路，我們一般有三種方法，其一是消元法，其二是換元法，其三是枚舉法，這些方法將在后面具體的題目中進行詳細講解；對于第二種求解思路，并不是每位考生都能夠靈活掌握，所以考生應(yīng)視自身的情況而對待；至于第三種求解思路，它有特定的適用情況，所以也不是經(jīng)常使用，后面會有具體的例題來介紹這些方法和思路。
【例1】（2009年國考）
甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆，共花了32元，乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆，共花了43元。如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用多少錢？
A．21元         B．11元 
C．10元         D．17元
【一佳名師解析】此題答案為C，消元法可解。設(shè)簽字筆、圓珠筆和鉛筆的單價分別是X、Y、Z，于是有：3X＋7Y＋Z＝32，4X＋10Y＋Z＝43，這是一個典型的不定方程組的問題，它理論上有無窮多個解，只是問題并不是要求X、Y或Z的值，而是X＋Y＋Z的值，因此解可能唯一（在此題中一定是唯一的，否則沒有答案），于是我們可以得出這樣的一個結(jié)論，即“X＋Y＋Z的值并不隨著X、Y、Z的具體取值而改變”，所以我們大可以令其中最復(fù)雜的未知量（此題中是Y最復(fù)雜，因為它前面的系數(shù)最大）為0，這樣就可以把原問題降維成一個二元一次方程組來進行求解，即令Y＝0（消元），得到：3X＋Z＝32，4X＋Z＝43，解得X＝11，Z＝-1，于是X＋Y＋Z＝10，因此答案為C。
事實上，如果用整體消去法求解，那么需要考生對數(shù)字更加敏感，即進行這樣的操作：對第一個方程兩邊同時乘以3，第二個方程兩邊同時乘以2，然后兩式相消，可以直接得到X＋Y＋Z＝3×32－2×43＝10。顯然，這并不是每個人都能夠一眼就看出來的。
其實，用換元法求解也未嘗不可，即設(shè)X＋Y＋Z＝T，于是方程組轉(zhuǎn)化為：2X＋6Y＋T＝32，3X＋9Y＋T＝43，容易看出這兩個方程中X和Y的系數(shù)比都是0：3，于是可以令X＋3Y＝S，則方程組又轉(zhuǎn)化為2S＋T＝32，3S＋T＝43，易得T＝10。
綜上，我們用了三種不同的方法對這樣的問題進行求解，但最直觀、最容易、最具有可操作性的方法卻是第一種方法，說到底，消元法中唯一體現(xiàn)了技術(shù)要求的就是它本身的解題思路。
【變1】（2008年國考）
甲、乙、丙三種貨物，如果購買甲3件、乙7件、丙1件需花3.15元，如果購買甲4件、乙10件、丙1件需花4.2元，那么購買甲、乙、丙各1件需花多少錢？
A．1.05                     B．1.4 
C．1.85                     D．2.1
【一佳名師解析】此題答案為A，消元法可解。思路同上，令Y＝0，則有：3X＋Z＝3.15，4X＋Z＝4.2，解得X＝1.05，Z＝0，即X＋Y＋Z＝1.05，因此答案為A。
    核心提示：一般來說，幾乎每一道數(shù)學(xué)運算題都不止一種解題思路及方法，考生要學(xué)會觸類旁通、舉一反三。
【例2】（2011年北京）
小李用150元錢購買了16元一個的書包、10元一個的計算器和7元一支的鋼筆寄給災(zāi)區(qū)兒童，如果他買的每一樣物品數(shù)量都不相同，書包數(shù)量最多而鋼筆數(shù)量最少，那么他買的計算器數(shù)量比鋼筆多多少個？
A．1                        B．2 
C．3                        D．4
【一佳名師解析】此題答案為B，枚舉法可解。設(shè)書包、計算器、鋼筆的個數(shù)分別是X、Y、Z，則有16X＋10Y＋7Z＝150，限定條件是X、Y、Z各不相同，X最大，且Z最小，注意到等式的奇偶關(guān)系，7Z要求一定是偶數(shù)，Z又最小，于是猜測Z＝2，當Z＝2時，16X＋10Y＝136，顯然10Y的尾數(shù)一定是0，那么16X的尾數(shù)必定要求是6，只有X＝6才會滿足要求（X要最大），于是Y＝4，顯然計算器數(shù)量比鋼筆多2個，因此答案為B。
【變2】（2012年國考）
超市將99個蘋果裝進兩種包裝盒，大包裝盒每個裝12個蘋果，小包裝盒每個裝5個蘋果，共用了十多個盒子剛好裝完。問兩種包裝盒相差多少個？ 
A．3                        B．4 
C．7                        D．13
【一佳名師解析】此題答案為D，枚舉法可解。設(shè)大包裝、小包裝的個數(shù)分別為X和Y，則根據(jù)題目已知條件，有：12X＋5Y＝99，限定條件是X＋Y＞10，注意到等式的奇偶關(guān)系，知Y一定是奇數(shù)，那么5Y的尾數(shù)一定是5，即要求99－12X的尾數(shù)是5，試探一下，當X＝2和X＝7時滿足條件，即當X＝2時，Y＝15，滿足X＋Y＞10，而X＝7時，Y＝3，不滿足X＋Y＞10，因此兩種包裝盒相差Y－X＝13，因此答案為D。
    核心提示：枚舉法一般是在一定的限定條件下進行所有的可能性枚舉，當然我們在枚舉的過程中應(yīng)充分利用諸如奇偶質(zhì)合等數(shù)字特征關(guān)系，在計算時特別關(guān)注尾數(shù)情況，這樣才不至于陷入漫長的枚舉之路。
【例3】（2010年4•25聯(lián)考）
A、B、C、D、E是5個不同的整數(shù)，兩兩相加的和共有8個不同的數(shù)值，分別是17、25、28、31、34、39、42、45，則這5個數(shù)中能被6整除的有幾個？
A．0                        B．1 
C．2                        D．3
【一佳名師解析】此題答案為C，枚舉法可解。由于5個數(shù)兩兩相加一般情況下可以得到10個不同的數(shù)值，但問題中只有8個不同的數(shù)值，說明其中有兩對重復(fù)的數(shù)值。不防設(shè)A＜B＜C＜D＜E，那么顯然會有如下的方程組成立：
①A＋B＝17，A＋C＝25；②D＋E＝45，C＋E＝42。
顯然這屬于一個不定方程組問題（5個未知量4個方程），由方程組①，可以得到B＝C－8，由方程組②，可以得到D＝C＋3，把得到的這兩個等式相加，進一步得到B＋D＝2C－5，注意到這個等式的奇偶關(guān)系，知B＋D肯定是奇數(shù)，那么它可能是31，也可能是39，考慮B＋D＝31（不會太大），那么C＝18，由①和②的關(guān)系可以進一步得到A＝7，B＝10，D＝21，E＝24，均滿足要求，可以知道C和E均能被6整除，因此答案為C。
【變3】（2010年9•18聯(lián)考）
已知，A、B為自然數(shù)，且A≥B，那么A有幾個不同的值？
A．2                        B．3 
C．4                        D．5
【一佳名師解析】此題答案為B，枚舉法可解。注意限定條件A≥B，對等式兩邊同時乘以B（想想為什么要乘以B，而不是乘以A？），得到4B/15＝B/A＋1≤2，即4B≤30，則B的可能情況是1、2、3、4、5、6、7，分別驗證一下，發(fā)現(xiàn)當B＝4時，A＝60，當B＝5時，A＝15，當B＝6時，A＝10，這三種情況都可以滿足題目條件，因此答案為B。
    核心提示：這是一道比較難的題目，在考試時其實是沒有這么多時間來分析的，所以這類題目應(yīng)該用猜的方法，當然，在猜之前先盡量排除，很明顯B和D項不對（注意42能被6整除，結(jié)合整除的第一個性質(zhì)，只能是偶數(shù)個數(shù)能被6整除），而A項過于絕對，且C屬于形式中項，因此猜C的可能性更大。
【例4】（2008年湖南）
建造一個容積為8立方米，深為2米的長方體無蓋水池。如果池底和池壁的造價分別為120元/平米和80元/平米，那么水池的最低總造價是（   ）元。
A．1560                     B．1660 
C．1760                     D．1860
【一佳名師解析】此題答案為C。設(shè)這個水池的長和寬分別為X和Y米，則有XY＝8/2＝4，根據(jù)長方體的表面積公式，可以得到水池的總造價＝120×XY＋80×2×(2X＋2Y)＝320(X＋Y)＋480，由基本不等式：X2＋Y2≥2XY，當且僅當X＝Y(jié)時成立，此時X＝Y(jié)＝2，于是最低總造價為320×4＋480＝1760，因此答案為C。
【變4】（2010年黑龍江）
某單位選舉工會主席，每人投票從甲乙丙選一人。已知該單位共52人，并且在計票過程中某時刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11票，如果得票比其他倆人都多的候選人將成為工會主席，那么甲至少再得多少票就能保證當選？
A．2                        B．3 
C．4                        D．5
【一佳名師解析】此題答案為C�？偣灿�52張票，此時甲乙丙得到的票數(shù)總和為17＋16＋11＝44張，還剩下8張票沒有投，由于要求甲保證當選，而三人中甲的得票數(shù)最多（并注意乙只比甲少得1張票），所以，最保險的方法就是把剩下的8張票平分成兩份，一份給甲，一份給乙和丙，此時甲的得票數(shù)在任何情況下都會高于其他人，因此答案為C。
    核心提示：基本不等式有幾種形式：
　　注意等號成立的條件。
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